Ogmante yon nonm konplèks nan yon pouvwa natirèl

Nan piblikasyon sa a, nou pral konsidere ki jan yon nonm konplèks ka ogmante nan yon pouvwa (sa enkli lè l sèvi avèk fòmil De Moivre). Materyèl teyorik la akonpaye pa egzanp pou pi bon konpreyansyon.

Ogmante yon nonm konplèks nan yon pouvwa

Premyèman, sonje ke yon nonb konplèks gen fòm jeneral la: z = a + bi (fòm aljebrik).

Koulye a, nou ka kontinye dirèkteman nan solisyon an nan pwoblèm nan.

Nimewo kare

Nou ka reprezante degre a kòm yon pwodwi nan menm faktè yo, ak Lè sa a, jwenn pwodwi yo (pandan nou sonje sa i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

1 Egzanp:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Ou ka itilize tou, sètadi kare sòm total la:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Remak: Nan menm fason an, si sa nesesè, yo ka jwenn fòmil pou kare diferans lan, kib sòm / diferans lan, elatriye.

Nyèm degre

Leve yon nonb konplèks z an kalite n pi fasil si li reprezante nan fòm trigonometrik.

Sonje byen, an jeneral, notasyon yon nimewo sanble sa a: z = |z| ⋅ (cos φ + mwen ⋅ sin φ).

Pou eksponantisyon, ou ka itilize Fòmil De Moivre (konsa yo rele apre matematisyen angle Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + mwen ⋅ sin(nφ))

Yo jwenn fòmil la lè w ekri sou fòm trigonometrik (modil yo miltipliye, epi agiman yo ajoute).

2 Egzanp

Leve yon nonb konplèks z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) nan wityèm degre.

Solisyon

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + mwen ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).